Potência Geral. ¶
Até aqui a mecânica modelada usando Trabalho não envolve o tempo explicitamente. Mesmo ao incluir a velocidade no Teorema do Trabalho e Energia Cinética, só é necessário ver os valores no início e final do movimento.
O tempo é introduzido de forma harmônica por meio da derivação do trabalho, definimos a Potência que é um conceito muito geral.
Multiprocessador¶
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Etiqueta Chuveiro Elétrico¶
Aquecimento Solar de Água¶
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Aquecedor a Lenha¶
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Potência Mecânica ou Potência de uma Força. ¶
Relembrando o trabalho diferencial, $dW=\vec{F}\cdot d\vec{l}$ e $\frac{d\vec{l}}{dt}=\vec{v}$, então,
$$dW=\vec{F}\cdot\vec{v}dt\quad\Rightarrow \quad $$$\quad$
$$ P=\frac{dW}{dt}=\vec{F}\cdot \vec{v} \quad.$$
Potência de uma força. $\quad\quad$
Potência Mecânica e Energia Cinética ¶
Imediatamente com base na equação anterior, a Potência associada a força resulta (nos termos da 2ª Lei de Newton).
$$P_{res}=\vec{F}_{res}\cdot \vec{v}$$O trabalho total, é aquele excercido pela força resultante (como na 2ª Lei de Newton).
Mas pelo teorema do Trabalho e Energia Cinética, $W_{Total}=\Delta K$,
$$W_{Total}(t)=K(t)-K_0\quad \Rightarrow \quad P_{Total}=\frac{W_{Total}}{dt}=\frac{dK}{dt}$$$\quad$
$$ P_{res}=\vec{F}_{res}\cdot \vec{v}=\frac{dK}{dt} \quad.$$
A potência associada a força resultante nos fornece a variação da Energia Cinética no tempo. $\quad\quad$
Exemplo automotivo simplificado: ¶
O motor de um automóvel é o principal responsável pela realização de trabalho em automóveis.
É muito comum aproveitar o mesmo motor, em diversos veículos, muitas vezes essa utilização gera projetos que claramente carecem de potência. E isso se reflete nos parâmetros cinemáticos (velocidade e aceleração).
Vamos investigar (de forma simplificada) esse efeito em 2 veículos Renault Symbol e Renault Duster.
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Experimento: ¶
Ambos os carro sobem com velocidade constante, um aclive que tem um ângulo $\theta$. Quanto percentualmente menor é a velocidade do carro mais pesado? Leve em conta apenas a ação da força peso, e da força de tração, ignore os efeitos aerodinâmicos.
Então se a velocidade é contante, o trabalho realizado pelo motor e transferido para as rodas é o mesmo que o necessario para superar os efeitos da força peso.
#Figura do plano com as forças e um sistema de coordenadas pouco vantajoso.
fig
Informações Teóricas: ¶
Já fizemos na aula passada.
$$p_\parallel=m\;g\;sen(\theta)$$Note, se $\vec{v}$ é constante, então Energia Cinética K, também é constante.
$$P_{res}=\vec{F}_{res}\cdot \vec{v}=\frac{dK}{dt}=0\Rightarrow (P_\parallel+F_\parallel)\;v=0\Rightarrow F_\parallel=-P_\parallel$$Claro que se você já sabe das Leis de Newton, isso era evidente.
Além disso, está claro que toda a potência liberada pelo motor é utilizado para realizar trabalho contra a força peso (a parte paralela a trajetória).
Potência individual dos 2 veículos com motores iguais e $m_2>m_1$ (quando vazios): ¶
$p_1= m_1\;g\;sen(\theta)$, portanto a potência do veículo 1 é $P_{Motor}= m_1\;g\;sen(\theta)\;v_1$
$p_2= m_2\;g\;sen(\theta)$, portanto a potência do veículo 1 é $P_{Motor}= m_2\;g\;sen(\theta)\;v_2$
Dividindo os valores,
$$ 1 = \frac{m_1}{m_2}\frac{v_1}{v_2}\;\Rightarrow\; v_2=\frac{m_1}{m_2}\;v_1$$$$ Dif\%=100\%\frac{|v_1-v_2|}{max(v_1,v_2)}= 100\%\frac{v_1-v_2}{v_1}=100\%\frac{v_1-\frac{m_1}{m_2}\;v_1}{v_1}$$Dados do Carros e resultado: ¶
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Motor 1.6 16V 4x2 (Hi-Flex) - Potência: 110 cv ~ 81 kw;
Dados do Symbol: 1045 kg (vazio) ou 2400 kg (carga máxima - Essa carga tem haver com o Motor)
Carga útil: 1355 kg
Dados do Duster: 1228 kg (vazio) ou 2378 kg (carga máxima - Essa carga tem haver com o Motor).
Carga útil: 1150 kg
Resultados: ¶
Carros vazios (Symbol mais rápido)
$$ Dif\%=100\%\; \frac{1228-1045}{1228}\approx 15\%$$Carros no máximo de carga (Velocidades equivalente)
Exemplo (quase) real: Aposta na pista de esqui: ¶
Esse exemplo foi adaptado do exemplo 6.12 do livro do Tipler.
Dois esquiadores apostam estão apostando uma corrida, um desce pela pista para iniciantes (com inclinação constante) e o outro desce pela pista para veteranos (com formato parabólico).
Dados das pistas:
- A ambas tem comprimento horizontal 'D' e altura 'h'.
- A pista de veteranos tem formato parabólico, não deforma esse formato.
- Ambas mantém o início e final da trajetória na mesmas posições.
- A pista de veteranos termina com inclinação zero.
As seguintes comparações são alvo de disputa:
- Qual esquiador chega a base pista com a maior velocidade?
Situação:¶
Ambos os esquiadores deslizam, e apenas a força peso é capaz de realizar trabalho. A força normal é perpendicular a trajetória e forças de atrito podem ser despresadas nesse momento. Podemos tratar os esquiadores como partículas.
#Diagrama das pistas de esqui
fig
Parte inicial da Solução:
- Vamos utilizar o Teorema Trabalho e Energia Cinética.
Suponhamos que a velocidade inicial (inpulso inicial para descer) é despresível quando comparado a velocidade no fim da pista $(v_i=0)$. E sabendo que a força normal não realiza trabalho.
Parte específica da pista 1:
- O trabalho da força peso sobre uma partícula em um plano pode ser encontrado facilmente utilizando a componente da força peso paralela a trajetória.
Para o plano inclinado vimos que $p_\parallel=m\;g\;sen(\theta)$. Isso é suficiente para a pista de iniciantes. Note ainda que para o plano inclinado, com as informações que temos, $sen(\theta)=\frac{h}{l}$, onde $l^2=h^2+D^2$.
- Trabalho da força peso na pista para iniciantes (identificado como pista 1).
Solução para 2(respira fundo):
- O que foi dito para o plano inclinado, vale para cada ponto da parábola, evidentemente, o ângulo $\theta$ é quem vai variar ao longo da trajetória, $p_\parallel=m\;g\;sen(\theta)$
Como a CADA ponto da parábola, podemos determinar a inclinação da reta tangente, que nos fornece a tangênte do âgulo $\theta$.
Mas o primeiro passo é modelar a parábola.
- Modelando a parábola. Toda parábola é $y(x)=a\;x^2+b\;x+c$.
Usando as informações disponíveis, podemos escolher a origem (0,0) (e o zero da parábloa) no fim da pista de esqui e ela necessariamente passa no ponto (-D,h).
Por conta (0,0), encontramos que $c=0$ e que temos uma parábola simétrica em relação a origem, portanto $b=0$.
Utilizando o ponto (-D,h), temos
$$h=a\;D^2\quad\Rightarrow a = \frac{h}{D^2} \Rightarrow y(x)=\frac{h}{D^2}\;x^2$$E ainda,
$$ \frac{dy}{dx}=tg(\theta)=2\;\frac{h}{D^2}\;x$$Não precisamos da tangente, mas do seno.
- Encontrando o $sen(\theta)$.
Existem muitas possibilidades para continuar, uma possibilidade interessante é imaginar um triângulo retângulo com catetos $c_1=2\;h\;x$ e $c_2=D^2$, com esse triângulo no mesmo quadrante da tangente o seno será,
$$sen(\theta)=-\frac{2\;h\;x}{\sqrt{4\;h^2\;x^2+D^4}}$$.
- Trabalho da força peso na pista para veteranos (identificado como pista 2).
Somos obrigados escrever $dl$ utilizando o sistema de coordenadas da parábola, notem que é o módulo da diferencial de comprimento.
$$dl=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\;dx=\sqrt{1+(2\;\frac{h}{D^2}\;x)^2}\;dx=\frac{\sqrt{4\;h^2\;x^2+D^4}}{D^2}\;dx$$Integrando,
$$W_{g2}=\int_{-D}^{0}-m\;g\;\frac{2\;h\;x}{\sqrt{4\;h^2\;x^2+D^4}}\frac{\sqrt{4\;h^2\;x^2+D^4}}{D^2}\;dx=-\int_{-D}^{0}m\;g\;\frac{2\;h\;x}{D^2}=\frac{m\;g\;h\;x^2}{D^2}|_0^{-D}=\;m\;g\;h$$Se no lugar de perguntar as velocidades, fosse pertuntado os tempos, qual caminho leva menos tempo para chegar a base da montanha?¶
Para responder isso mais facilmente precisamos de mais conhecimento...
Existe algo maior ....:¶
Na definição de potência, a noção de trabalho foi ampliada.
E agora caminhos muito diferentes resultam na mesma velocidade (na verdade na mesma energia cinética).
Na próxima aula vamos falar do princípio da Conservação da Energia (o 'algo maior'), um dos conceitos com maior alcance nas ciências.