Motivos para se estudar colisões ¶
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Conceitos Centrais para o Estudo de Colisões em Mecânica ¶
Já conhecidos:
• Conservação do momento: $$\Delta P_{Sis}=0$$
• Conservação da Energia: $$\Delta E_{Sis}=0$$
Mas pode ocorrer da Energia Mecânica não se conservar em alguns tipos colisõesEssas quantidades são suficientes para descrever o movimento antes e depois da colisão.
Conceito novo:
Mecanismo que explica a forma com que as patículas interagem durante colisões mecânicas. Comecemos por essa novidade!
Impulso:¶
Impulso e força média¶
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Aqui isso nos fornecerá a força média que atua sobre uma corpo durante uma colisão,
Exemplos virão adiante quando as coisas começarem a colidir.
Tipos de Colisões:¶
- Colisões Elásticas.
- Colisões Parcialmente Inelásticas.
- Colisões Ineláticas ou Perfeitamente Inelásticas.
| Conceito \ Tipo de Colisão | |
Inelástica |
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|---|---|---|---|
| Energia Geral | |||
| Energia Mecânica | |||
| Momento Linear |
Tipos de Colisões: Tópico sobre energia em colisões inelásticas¶
| Conceito \ Tipo de Colisão | |
Inelástica |
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|---|---|---|---|
| Energia Geral | |||
| Energia Mecânica |
Parte da Energia Mecânica é convertida a alguma energia dissipativa nas colisões inelásticas. Por isso a Energia Geral é conservada.
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• Nas colisões perfeitamente inelásticas, os corpos sempre terão a mesma velocidade após a colisão. Isso formalmente significa que a Velocidade relativa entre eles é ZERO.
• Neste curso de Mecânica, a deformação do material será o tipo mais comum de energia dissipativa em colisões. Mas pode ocorrer aquecimento também. |
Colisões Unidimensionais:¶
Em ordem de dificuldade:
- Colisões Perfeitamente Inelásticas.
- Colisões Elásticas.
- Colisões Parcialmente Inelásticas (essa não será feita hoje).
Colisões Inelásticas Unidimensionais:¶
Consederemos 2 corpos de massa $m_1$ e $m_2$, com velocidades iniciais $v_1$ e $v_2$ conhecidas, nesse caso tanto faz se as partículas vão ao encontro uma da outra (colisão frontal) ou uma se aproxima por trás da outra (colisão traseira). Fato é que eles colidem e o máximo de energia é perdida.
Com qual velocidade do conjunto $v_{c}$, após a colisão? Qual a Energia que resta após a colisão?
Solução:¶
O que sabemos:
- Massa do corpo 1 : $m_1$.
- Massa do corpo 2 : $m_2$.
- Velocidade do corpo 1 antes da colisão: $v_{1a}=v_1$.
- Velocidade do corpo 2 antes da colisão: $v_{2a}=v_2$.
- Ambos os corpos tem a mesma velocidade após a colisão: $v_{2d}=v_{1d}$
O que desejamos:
- Velocidade do conjunto depois da colisão: $v_c=v_{2d}=v_{1d}=\;$?
- A Energia que resta no sistema : $K_{sd}=\;$?
Também sabemos ser uma Colisão, só existem forças internas:
- Momento Linear se Conserva: $\Delta \vec{P}_{Sis}=0\;\Rightarrow\; \vec{P}_{1a}+\vec{P}_{2a}=\vec{P}_{1d}+\vec{P}_{2d}$, logo,
## $$m_1\;v_{1a}+m_2\;v_{2a}=m_1\;v_{1d}+m_2\;v_{2d}$$
No caso das colisões perfeitamente inelásticas,
$m_1\;v_{1a}+m_2\;v_{2a}=(m_1+m_2)\;v_{c}$
Resposta: Então a velocidade do conjunto será:
$$v_{c}=\frac{m_1\;v_{1a}+m_2\;v_{2a}}{m_1+m_2}$$Com a velocidade do conjunto disponível a Energia do sistema após acolisão será dada pela massa e velocidade do conjunto.
$K_{sd}=\frac{1}{2}\;m_c\;v^2_c$, substituindo
$K_{sd}=\frac{1}{2}\;(m_1+m_2)\;\frac{(m_1\;v_{1a}+m_2\;v_{2a})^2}{(m_1+m_2)^2}=\frac{1}{2}\;\frac{(m_1\;v_{1a}+m_2\;v_{2a})^2}{(m_1+m_2)}$
Que pode ser escrita de forma compacta usando o momento linear do sistema $(P_{Sis})$ descrito com as velocidades iniciais.
$$K_{sd}=\frac{P_{Sis}^2}{2(m_1+m_2)} $$Colisões Inelásticas e a preservação da vida em acidentes¶
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Se parte da Energia não fosse convertida em destruição dos veículos envolvido em acidêntes os ocupantes estaram sujeitos a forças e acelerações tremendamente mais elevadas, isso poderia causar danos muito severos aos ocupantes. Veremos algo sobre isso adiante. |
Exemplo 1: Batida contra um trêm.¶
Foi observado que o carro para na via férrea, então sua velocidade é zero. A massa do trêm é muito maior que a do carro de passeio.
Solução:¶
O que sabemos:
- Relação entre as Massa : $m_1=m_{trem}>>m_{carro}=m_2$.
- Velocidade do trem antes da colisão: $v_{1a}=v_1$.
- Velocidade do carro antes da colisão: $v_{2a}=v_2=0$.
- É uma colisão perfeitamente inelástica, pois o trem arrasta o carro.
O que desejamos:
- Velocidade do conjunto depois da colisão: $v_{c}=?$
- Aceleração Média a que o carro está sujeito se a colisão ocorre em 0.5s.
Nosso resultado geral foi:
$$v_{c}=\frac{m_1\;v_{1a}+m_2\;v_{2a}}{m_1+m_2}$$Substituindo o que sabemos:
*$v_{c}=\frac{m_1\;v_{1a}}{m_1+m_2}=\frac{\;v_{1a}}{1+\frac{m_2}{m_1}}$, como $m_1>>m_2$, no caso limite $\frac{m_2}{m_1}\rightarrow 0$, portanto fazerndo esse limite encontramos.
Resposta:
$$v_{c}\approx v_{1a}=v_{trem}$$
Efeito: O trem arrasta o carro como se ele não estivesse por ali.
A Aceleração média sobre o veículo:
Aqui vamos usar os resultados obtidos na seção que falava de impulso e a segunda Lei de Newton,
$\vec{F}_{res\; méd}=\frac{\Delta \vec{P}}{\Delta t}$
- Como estamos falando exclusivamente do carro, vamos ver a variação do momento linear do carro.
$p_{carro}=m_{car}\;v_{car}$, antes da colisão é zero, $p_{car\;ant}=0$, pois o carro está parado.
Depois da colisão será a $p_{car\;dep}=m_{car}\;v_{trem}$ pois o carro é arrastado pelo trem.
$$\Delta P = p_{final}-p_{inicial}=m_{car}\;v_{trem}$$A força média para uma colisão de 0.5s.
$$F_{res\; méd}=\frac{m_{car}\;v_{trem}}{0.5}=2\;m_{car}\;v_{trem}$$A aceleração média vem usando a segunda lei de Newton,
$$F_{res\; méd}=m_{car}\;a_{méd}=2\;m_{car}\;v_{trem}\Rightarrow$$Resposta: $$a_{méd}=2\;v_{trem} $$
Exemplo 2 (Histórico): Pêndulo Balístico¶
| no Museudo Caçador de Londres |
Disponível no Royal Gunpowder Mills, Essex, Inglaterra. |
Funcionamento do Pêndulo Balístico:¶
Situação:
Um projétil de massa $m_{proj}$ é disparado e sai de uma da arma com velocidade $v_{proj}$, essa velocidade é desconhecida. Ele colide e se aloja dentro de um objeto parado e pendurado por uma corda, esse objeto pendurado tem massa $m_{pen}$. Após a colisão o conjunto oscila e se registra a altura máxima $h$ de oscilação.
Ilustração:
Solução:¶
O que sabemos:
- Massa do projétil : $m_{proj}=m_1$,
- Massa do bloco pendurado : $m_{pen}=m_2$
- Altura máxima que o conjunto atinge após a colisão: $h$
O que desejamos:
- Velocidade do projétil antes da colisão: $v_{proj\;ant}=v_{1a}=?$
Devemos separar o problema em 2 estágios: Estágio de colisão inelástica e estágio de movimento do conjunto pendurado
Estágio de colisão perfeitamente inelástica:
- Nesse tipo de colisão, apenas uma fração da Energia cinética é preservada.
$$K_{sd}=\frac{P_{Sis}^2}{2(m_1+m_2)}=\frac{1}{2}\;\frac{(m_1\;v_{1a}+m_2\;v_{2a})^2}{(m_1+m_2)}$$
- Substituindo o que sabemos e o que desejamos, $$K_{sd}=\frac{1}{2}\;\frac{(m_1\;v_{1a})^2}{(m_1+m_2)} $$
- Estágio do movimento do movimento do conjunto pendurado:
- Agora estamos com um movimento sem forças dissipativas, então a energia mecânica se conserva.
- Vamos falar em termos de início e final desse movimento. O início desse movimento, tem os mesmo parâmetro de DEPOIS da colisão.
Pelo princípio da Conservação da Energia Mecânica
.$$K_i+U_i=K_f+U_f$$
Escolhemos:
- Definimos que a referencia para Energia Potencial é na parte mais baixa da tranjetória, essa forma, no instante inicial, só há energia cinética, $U_i=0\;J$.
Sabemos:
- Quanto a altura máxima é atingida, o conjunto para, então $K_f=0$, e por sua vez $U_f=(m_1+m_2)\;g\;h$.
- A energia cinética no início é $K_i=K_{sd}=\frac{1}{2}\;\frac{(m_1\;v_{1a})^2}{(m_1+m_2)}$
Substituindo o que sabemos e o que já encontramos,
$$\frac{1}{2}\;\frac{(m_1\;v_{1a})^2}{(m_1+m_2)}=(m_1+m_2)\;g\;h\Rightarrow$$Resposta:
$$v_{proj}=v_{1a}=\frac{(m_1+m_2)}{m_1}\sqrt{2\;g\;h} $$Colisão Elástica Unidimensional:¶
Consederemos 2 corpos de massa $m_1$ e $m_2$, com velocidades iniciais $v_1$ e $v_2$ conhecidas, nesse caso tanto faz se as partículas vão ao encontro uma da outra (colisão frontal) ou uma se aproxima por trás da outra (colisão traseira). Fato eles colidem sem deformação ou qualquer outra perda energética.
Com qual velocidades $v_{1d}$ e $v_{2d}$, os corpos terão após a colisão?
Solução¶
O que sabemos:
- Massa do corpo 1 : $m_1$,
- Massa do corpo 2 : $m_2$
- Velocidade do corpo 1 antes da colisão: $v_{1a}=v_1$
- Velocidade do corpo 2 antes da colisão: $v_{2a}=v_2$
O que desejamos:
- Velocidade do corpo 1 depois da colisão: $v_{1d}=?$
- Velocidade do corpo 2 depois da colisão: $v_{2d}=?$
Também sabemos ser uma Colisão Elástica:
- Momento Linear se Conserva: $\Delta \vec{P}_{Sis}=0\;\Rightarrow\; \vec{P}_{1a}+\vec{P}_{2a}=\vec{P}_{1d}+\vec{P}_{2d}$, logo,
$$m_1\;v_{1a}+m_2\;v_{2a}=m_1\;v_{1d}+m_2\;v_{2d}$$
Energia Mecânica se Conserva (só tem energia cinética): $\Delta \vec{E}_{Sis}=0\;\Rightarrow\; K_{1a}+K_{2a}=K_{1d}+K_{2d}$, logo,
$$\frac{1}{2}\;m_1\;v_{1a}^2+\frac{1}{2}\;m_2\;v_{2a}^2=\frac{1}{2}\;m_1\;v^2_{1d}+\frac{1}{2}\;m_2\;v^2_{2d} $$
Manipulações matemáticas:¶
Da equação para o momento,
$$m_1\;(v_{1a}-v_{1d})=m_2\;(v_{2d}-v_{2a})\quad(1)$$Da equação para a Energia,
$$m_1\;(v_{1a}^2-v_{1d}^2)=m_2\;(v_{2d}^2-v_{2a}^2)\Rightarrow $$$$ m_1\;(v_{1a}-v_{1d})\;(v_{1a}+v_{1d})=m_2\;(v_{2d}-v_{2a})\;(v_{2d}+v_{2a})\quad(2)$$Divindindo (2) por (1),
$$v_{1a}+v_{1d}=v_{2a}+v_{2d}\Rightarrow v_{1a}-v_{2a}=v_{2d}-v_{1d}$$- Pausa para um resultado importante, o módulo da velocidade relativa se preserva em uma colisão elástica, $$|v_{1a}-v_{2a}|=|v_{2d}-v_{1d}|\quad (3)$$
Mas como visto mais acima, o sinal se inverte.
Continuemos
- $$v_{2d}=v_{1d}+v_{1a}-v_{2a}\quad (4)$$
Substituindo (4) em (1)
- $$m_1\;(v_{1a}-v_{1d})=m_2\;(v_{1d}+v_{1a}-2\;v_{2a})$$
Reorganizando:
- $v_{1d}\;(m_1+m2)=v_{1i}\;(m_1-m_2)+2\;v_{2a}\;m_2$ e finalmente,
Resposta:
$$v_{1d}=\frac{v_{1a}(m_1-m_2)+2\;v_{2a}m_2}{m_1+m_2}\quad(5)$$- Como as posições dos corpos 1 e 2 podem ser trocadas sem prejuízo,
Esse resultado também pode ser obtido substituindo (5) em (4).
Exemplo 3: Colisão de bolas de sinuca¶
Podemos considerar que as bolas de sinuca tem a mesma massa $(m_1=m_2)$.
Solução:¶
O que sabemos:
- Massa do corpo 1 e 2 : $m_1=m_2=m$,
- Velocidade do corpo 1 antes da colisão: $v_{1a}=v_1$
- Velocidade do corpo 2 antes da colisão: $v_{2a}=0$
O que desejamos:
- Velocidade do corpo 1 depois da colisão: $v_{1d}=?$
- Velocidade do corpo 2 depois da colisão: $v_{2d}=?$
Nosso resultado geral (5) e (6):
- $$v_{1d}=\frac{v_{1a}(m_1-m_2)+2\;v_{2a}m_2}{m_1+m_2}$$
- $$v_{2d}=\frac{v_{2a}(m_2-m_1)+2\;v_{1a}m_1}{m_1+m_2}$$
Substituindo o que sabemos,
$v_{1d}=0$
- $v_{2d}=\frac{2\;v_{1a}m}{m+m}=v_{1}$
O momento e energia é transferido totalmente do objeto 1 para o objeto 2.
Exemplo real:
Vamos ver isso aplicado a um joguinho!
https://www.terra.com.br/diversao/games/jogos-online-billiards/
Exemplo 4: Colisão elástica com uma parede.¶
É fato que a parede está parada $(v_{2a})$ e podemos considerar que a parede tem massa $M\rightarrow\infty$ se comparada a de qualquer objeto de peso limitado, uma bola de ping-pong por exemplo. Desde que a parece seja resistente, valeria para uma bola de boliche.
Solução:¶
O que sabemos:
- Massa da parede: $M\rightarrow\infty$
- Velocidade do corpo 1 antes da colisão: $v_{1a}=v_1$
- Velocidade da parede antes da colisão: $v_{2a}=0$
Não sabemos:
- Massa do corpo 1: $m_1$. Não foi definida, então espero que seja irrelevante, trataremos como uma quantidade auxiliar.
O que desejamos:
- Velocidade do corpo 1 depois da colisão: $v_{1d}=?$
- Velocidade do corpo 2 depois da colisão: $v_{2d}=?$
Nosso resultado geral foi:
- $$v_{1d}=\frac{v_{1a}(m_1-m_2)+2\;v_{2a}m_2}{m_1+m_2}$$
- $$v_{2d}=\frac{v_{2a}(m_2-m_1)+2\;v_{1a}m_1}{m_1+m_2}$$
Substituindo o que sabemos e a quantidade auxiliar $m_1$.
$v_{1d}=\frac{v_{1a}(m_1-M)}{m_1+M}=\frac{v_{1a}(\frac{m_1}{M}-1)}{\frac{m_1}{M}+1}$
Como $M\rightarrow\infty \;\Rightarrow\;\frac{m_1}{M}\rightarrow0$, desde que $m_1$ seja irrelevante comparado com a parede.
- $v_{2d}=\frac{2\;v_{1a}\;m_1}{m_1+M}=\frac{2\;v_{1a}}{\frac{m_1}{M}+1}\frac{m_1}{M}$
Tomando o limite, $\frac{m_1}{M}\rightarrow0$
Restante da resposta:
$$v_{2d}=0 $$Ainda bem que a parede continua parada.
Exemplos:
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Exemplo 5: Jogando Boliche.¶
Não há o que considerar, apenas substituir.
Solução:¶
O que sabemos:
mbola=6. # Massa da bola de boliche, mbola=m1 em kg
mpino=1.5 # Massa do pino, mpino=m2 em kg
vbola=10. # Velocidade da bola de boliche antes da colisão vbola=v1a, em m/s
vpino=0. #Velocidade do pino antes da colisão: vpino=v2a, em m/s
O que desejamos:
- Velocidade do corpo 1 depois da colisão: $v_{1d}=?$
- Velocidade do corpo 2 depois da colisão: $v_{2d}=?$
Nosso resultado geral foi:
- $$v_{1d}=\frac{v_{1a}(m_1-m_2)+2\;v_{2a}m_2}{m_1+m_2}$$
- $$v_{2d}=\frac{v_{2a}(m_2-m_1)+2\;v_{1a}m_1}{m_1+m_2}$$
- Substituindo o que sabemos,
M=mbola+mpino # Massa total do sistema
v1d=(vbola*(mbola-mpino)+2*vpino*mpino)/M # Substituição dos valores
print('Resposta: ',v1d,'m/s')
#Versão com mais conta
v2d=(vpino*(mpino-mbola)+2*vbola*mbola)/M # Substituição dos valores
print('Resposta: ',v2d,'m/s')
Versão alternativa, que usa velocidade relativa.¶
Usando que o módulo velocidade relativa se conserva na colisão elástica e o sinal se inverte
vr1=vbola-vpino # isso é a velocidade relativa bola/pino e dá 10 m/s.
vr2=-vr1 #vr2=vbola_depois-vpino_depois da colisão.
v2ds=(v1d-vr2) # vbola_depois=v1d, vr2=(v1d-v2d)
print('Resposta: ',v2ds,'m/s')
Esse exemplo do boliche tem a mesma estrutura inicial da colisão entre o automóvel parado e o trem. Vamos usar investigar quais consequencias teríamos se o automóvel fosse indestrutível. Portanto se a colisão fosse elástica.
Exemplo 6: Objeto rígido sendo acetado por um trem.¶
- Qual a velocidade dos envolvidos após a colisão?
- Qual a aceleração média a que está submetido o objeto após a colisão com o trem?
Solução¶
O que sabemos (do enunciado original entre o carro e o trem lá na seção de colisão elástica):
- Relação entre as Massa : $m_1=m_{trem}>>m_{obj}=m_2$ ou $\frac{m_{obj}}{m_{trem}}\rightarrow0$.
- Velocidade do trem antes da colisão: $v_{1a}=v_1$.
- Velocidade do carro antes da colisão: $v_{2a}=v_2=0$.
- Tempo de colisão $\Delta t=0.5\;s$.
- A colisão é elástica, essa é a única informação que mudou em relação ao enunciado original.
O que desejamos (as mesmas coisas que no problema original lá no exemplo 1):
- Qual a velocidade dos envolvidos após a colisão?
- Qual a aceleração média a que está submetido o objeto após a colisão com o trem?
Aproveitando o resultado obtido a pouco para o sistema do boliche, basta trocar o índece bola por trem e o índice pino por objeto.
- $v_{1d}=\frac{v_{trem}\;(m_{trem}-m_{obj})}{m_{trem}+m_{obj}}=\frac{v_{trem}\;(1-\frac{m_{obj}}{m_{trem}})}{1+\frac{m_{obj}}{m_{trem}}}$.
Fazendo o limite,
Parte da primeira resposta:
- $$v_{trem\;dep}=v_{1d}\approx v_{trem}$$
Efeito: O trem nem sente que bateu em algo.
Seguindo o mesmo método, tomemos o resultado para o pino e troquemos os índices.
- $v_{2d}=\frac{2\;v_{trem}\;m_{trem}}{m_{trem}+m_{obj}}=\frac{2\;v_{trem}}{1+\frac{m_{obj}}{m_{trem}}}$. Fazendo o limite chegamos,
Segunda parte da primeira resposta:
- $$v_{obj\;dep}=v_{2d}\approx 2\;v_{trem}$$
Efeito: O objeto é arremessado para frente com 2x a velocidade do trem.
A Aceleração média sobre o veículo:
Esta parte segue o mesmo desenvolvimento visto no problema anterior, a única diferença é que a velocidade do objeto depois da colisão mudou. Então basta trocar, $v_{trem}$ para $2\;v_{trem}$.
A aceleração média vem usando a segunda lei de Newton,
$$F_{res\; méd}=m_{obj}\;a_{méd}=2\;m_{car}\;2\;v_{trem}\Rightarrow$$Resposta: $$a_{méd}=4\;v_{trem} $$
Colisões Parcialmente Inelásticas Unidimensionais:¶
Fica para depois que estudarmos centro de massa. O conceito de centro de massa facilita muito o entendimento das colisções parcialmente inelásticas.
Próxima aula, como obter o centro de massa de sistemas de partículas e objetos. Depois disso continuamos com colições.