Semana 13 Aulas 1 - Dinâmica Rotacional:¶

Lista de Tópicos:¶

Recordando a Energia Cinética Rotacional.
Recordando e ampliando o torque de uma força.
Exemplo usando torque.
Quantidade de Movimento Angular ou Momento Angular.
Inércia Rotacional.
Exemplo de Momento de Inércia.
Teorema dos Eixos Paralelos.
Exemplo usando o Teorema.

Recordando a Energia Cinética Rotacional. ¶

Temos um sistema de partículas que gira ao redor de um eixo (chamaremos de eixo de giro), cada partícula tem sua sua velocidade linear, mas todas com a mesma velocidade angular.

$$K_{sis\;eixo}=\sum_{i=0}^{N}\frac{1}{2}\;m_i\;v_i^2 $$

Para cada partícula, $v_i=r_i\;\omega$

$$K_{sis\;eixo}=\frac{1}{2}(\sum_{i=0}^{N}\;m_i\;r_i^2)\;\omega^2$$

A experessão para energia cinética rotacional de um sistema será,

$$K_{sis\;eixo}=\frac{1}{2}\;I_{sis\;eixo}\;\omega^2 $$

Onde $I_{sis\;eixo}$ é o momento de inércia do sistema em relação ao eixo de giro.

Recordando a definição de torque de uma força. ¶

Definição formal: $$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$$ Toque de uma força é o produto vetoria
entre o vetor posição relativa a um eixo de giro (pivot) e a força aplicada nesta posição.

O resultado vetorial do torque está sobre o eixo de giro.

E aponta para fora do plano de rotação.

Ampliando o torque de uma força: Usando a segunda Lei de Newton.¶

Temos um sistema de partículas N partículas submetido a forças externas, a soma das forças externas dá uma força resultante e pela segunda Lei de Newton a força resultante sobre a i-ésima partícula será.

$$\vec{F}_{res\;i}=m_i\;\vec{a}_i$$

Podemos calcular o torque resultante em relação a um eixo usando a definição. O torque total é a soma dos torques sobre cada partícula.

$$\vec{\tau}_{res}=\sum_{i=0}^{N}\vec{r}_i\times\;m_i\;\vec{a}_i $$

Essa multiplicação separa a parte rotacional da aceleração de qualquer outra componente, resta

$$\tau_{res}=\sum_{i=0}^{N}\;m_i\;r_i\;a_{\perp\vec{r}\;i}$$

$\tau_{res}$ está na direção normal ao plano de giro.

Da Cinemática Rotacional, temos 2 resultados:

$\alpha=\frac{d\omega}{dt}$, com $\vec{\omega}\parallel\vec{\alpha}$, e na direção normal ao plano de giro.
$\omega=\frac{v_{\perp\vec{r}}}{r}$.

$$\tau_{res}=(\sum_{i=0}^{N}\;m_i\;r_i^2)\;\alpha$$

E na forma vetorial da segunda Lei de Newton para Rotações.

$$\vec{\tau}_{res}=I_{sis}\;\vec{\alpha}$$¶

Onde $\vec{\tau}_{res}=\sum_j \vec{\tau}_j$

Exemplo da bicicleta parada: ¶

Uma biclicleta está montada sobre um cavalete com a roda traseira livre para girar.
Você gira o petal de tal forma que a corrente aplica uma força de 18 N constante sobre a catraca.
Sabendo que o raio da catraca é $r_c=7,0\;cm$ e ela é montada no mesmo eixo de rotação da roda (nunca ví de outro jeito, mas é bom avisar).
A roda por sua vez, pode ser considerada um aro sólido perfeitamente simétrico, cujo momento de inércia ao redor de um eixo que passa sobre o Centro de massa é $I_{CM}=M\;R^2$;
Você sabe que a biclicleta usa aro 28, e a faixa de borracha é pequena se comparada a roda
e a massa da roda é de 2,4 kg (a bicicleta é antiga).
Qual é a variação da velocidade angular da roda 5,0s depois?

Dados:¶

Força aplicada na catraca: $F_c=18\;N$ constante.
Raio da catraca: $r_c=7.0\;cm$
Massa do conjunto que forma a roda: $M=2.4\;kg$
Raio aproximado do conjueto: $r_{roda}=\frac{28}{2}\approx 35\;cm$ polegadas
Momento de Inércia do Conjunto: $I_{sis\;cm}=M\;R$

Desejamos:¶

Variação da velocidade angular da roda depois de 5.0s: $\Delta\omega$.

Solução:¶

É aplicada uma força constante, em uma distância radial fixa. Isso gera um torque constante. E por sua vez uma aceleração angular constante.

A equação cinemática que relaciona velocidade angular, aceleração angular e tempo é: $\omega(t)=\omega_0+\alpha\;t\quad(1).$

Pela segunda Lei de Newton para rotações: $\tau_{res}=I_{roda}\;\alpha=M\;r_{roda}^2\;\alpha\quad(2).$

O único torque existente é sobre a catraca, então $\tau_{res}=r_c\; F\quad(3).$

Substituindo os resultados (3) em (2), encontramos $\alpha=\frac{r_c\cdot F}{M\;r_{roda}^2}\quad(4).$

Substituindo os resultados (4) em (1), encontramos

$$\omega_f-\omega_0=\Delta\omega=\frac{r_c\cdot F}{M\;r_{roda}^2}\;t_f$$

Substituindo os valores,

In [31]:

#Dados
rcatraca=7*10**(-2) # Raio da catraca em m.
F=18 # Força aplicada a catraca em N.
M=2.4 # Massa do conjunto em kg.
rroda = 35*10**(-2) # Raio aproximado da roda em m.
tf=5 # tempo de aplicação da força, em segundos.
DeltaOmega= tf*rcatraca*F/(M*(rroda)**2)

In [32]:

print('Resposta:')
print('A variação da Velocidade Angular foi de:',np.round(DeltaOmega,2),'rad/s')

Resposta:
A variação da Velocidade Angular foi de: 21.43 rad/s

Quantidade de Movimento Angular ou Momento Angular.¶

Se os parâmetros cinemáticos e a força possuem contrapartes rotacionais, com o momento linear $(\vec{p})$ não seria diferente.

Para uma partícula pontual isolada (i), o paradigma do Momento Angular ao redor de um eixo será,

$$\vec{L}_i=\vec{r}_i\times\vec{p}_i$$

Usando a definição $\vec{\omega}=\frac{\vec{r}\times\vec{v}}{r^2}$, e multiplicando pela massa da partícula.

$$\vec{L}_i=\vec{r}_i\times\vec{p}_i=m_i\;r_i^2\;\vec{\omega}$$

Esse é o paradigma para uma partícula em movimento rotacional.

Para um sistema com N partículas ligadas e girando, o momento angular total do sistema ao redor de um eixo será,

$$\vec{L}_{sis\;eixo}=(\sum_{i=0}^Nm_i\;r_i^2)\vec{\omega}=I_{sis}\vec{\omega}$$

O momento angular possibilita avaliar mudanças de configuração do sistema, fruto de variações do momento de Inércia, usando a Segunda Lei de Newton para Rotações

$$\vec{\tau}_{res}=\frac{d\vec{L}}{dt}$$

No futuro, essa relação trará a ultima Lei de Conservação deste curso. Agora vamos dar alguma atenção para o elemento de inércia em rotações.

Inércia Rotacional.¶

O momento de inércia exerce um papel chave em rotações, vamos analisar melhor esse elemento.

Paradigma discreto para N partículas:

$$I_{sis}=\sum_{i=0}^N\;m_i\;r_i^2 $$

Características:

É calculado com relação ao eixo de retação: $\vec{r}_i$ é a distância da massa $m_i$ ao eixo de rotação.
O eixo de rotação não precisa passar dentro dos limites do sistema de partículas.
O momento de inércia é aditivo: $I_{sis}=\sum_i I_i$, isso é uma propriedade incluída no somatório.
O momento de inércia depende explicitamente da distribuição geomética das partículas do sistema.

Inércia Rotacional: Caso contínuo.¶

Momento de Inérgia com relação a um eixo de rotação: $$I_{sis}=\int_{sis}\;r^2\;dm$$ A menos do fato de $\vec{r}$ ser uma distância radial,
os procedimentos para calcular essa integral são identicos
aos procedimentos para calcular a integral do Centro de Massa.

Distribuição Contínua de Massa Drawing

Exemplo usando Momento de Inércia.¶

Considere uma barra fina homogênea de comprimeto $l$ e massa $m$. a) Diga qualitativamente qual situação apresenta maior inércia rotacional. Fazer a barra girar fixando o pivô em uma das pontas ou no meio. b) Determine o valor do momento de inércia dessa barra em relação a cada eixo (pivô em uma extremidade e pivô central), para conferir se seu raciocício qualitativo estava correto.

Pivô na extremidade	Pivô central

Solução a)

Não adianta chutar sem base em coisa alguma. Uma boa estratégia é elaborar um modelo com elementos simples e resolver o momento de inércia desse modelo para cada eixo, e depois comparar os valores. O item b, vai dizer o quanto bom foi esso modelo.

Estimativa de I com relação a extremidade

Temos uma barra de comprimento $l$ e massa $m$. Um modelo inicial é separar essa barra em 2 metades a partir do centro. Para cada metade identificamos a posição do CM e calculamos o momento de inércia em relação ao eixo desejado.

eixo=======cm1========c=======cm2========

Cada metade, tem metade da massa.

O comprimento é $l$, o centro está em $\frac{1}{2}\;l$ com relação a qualquer das extremidades. O $cm1$ está no meio da primeira metade, $r_{cm_1}=\frac{1}{4}\;l$. E analogamente para $cm2$, $r_{cm_2}=\frac{3}{4}\;l$

Usando a definição

$$I^{est}_{barra\;ex}=\frac{m}{2}\;(\frac{1}{4}\;l)^2+\frac{m}{2}(\frac{3}{4}\;l)^2$$$$I^{est}_{barra\;ex}=\frac{10}{32}\;m\;l^2$$

Estimativa de I com relação ao centro

=======cm1========eixo=======cm2========

Cada metade, tem metade da massa.

O comprimento é $l$, o centro está em $\frac{1}{2}\;l$ com relação a qualquer das extremidades, no centro está o eixo de giro. O $cm1$ está no meio da primeira metade, $r_{cm_1}=\frac{1}{4}\;l$ do eixo de rotação. E analogamente para $cm2$, $r_{cm_2}=\frac{1}{4}\;l$ do eixo de rotação.

Usando a definição

$$I^{est}_{barra\;cm}=\frac{m}{2}\;(\frac{1}{4}\;l)^2+\frac{m}{2}(\frac{1}{4}\;l)^2$$$$I^{est}_{barra\;cm}=\frac{1}{16}\;m\;l^2$$

Resposta:

Com base no modelo, se conclui que a barra apresenta maior inércia rotacional quando giramos pela extremidade.

Solução b). ¶

Recorde o enunciado:

Considere uma barra fina homogênea de comprimeto $l$ e massa $m$. b) Determine o valor do momento de inércia dessa barra em relação a cada eixo (pivô em uma extremidade e pivô central), para conferir se seu raciocício qualitativo estava correto.

Pivô na extremidade	Pivô central

Se usarmos um sistema de coordenadas cartesiano, podemos chamar a distância r de x. A densidade linear de massa da barra será $\lambda=\frac{m}{l}$, então $dm=\lambda\;dx$.

A montagem da intergral a mesma receita por questões geométricas.

$$I_{sis}=\int_{barra\;eixo}\lambda\;x^2\;dx=\frac{m}{l}\int_{barra\;eixo}\;x^2\;dx$$

Para a barra girando pela extremidade.

$$I_{barra\;ext}=\frac{m}{l}\int_0^l\;x^2=\frac{m}{l}\frac{x^3}{3}|_0^l=\frac{1}{3}\;m\;l^2$$

Para a barra girando pelo centro

$$I_{barra\;cm}=\frac{m}{l}\int_{-l/2}^{l/2}\;x^2=\frac{m}{l}\frac{x^3}{3}|_{-l/2}^{l/2}=2\frac{m}{l}\frac{l^3}{3\cdot8}=\frac{1}{12}\;m\;l^2$$

Resposta:

Os valores encontrados, $I_{barra\;ext}=\frac{1}{3}\;m\;l^2$ e $I_{barra\;cm}=\frac{1}{12}\;m\;l^2$, confirmam o que fizemos com nosso modelo. A inércia rotacional é menor quando giramos esse sistema sobre um eixo que passa sobre o Centro de Massa.

Note:

O modelo com elementos discretos era realmente bom. Comparando os fatores numéricos obtidos, vemos que o erro absoluto é pouco mais de 2% e os erros relativos são um pouco mais elevados mas aceitáveis.

In [33]:

ErroIext= 100.*np.abs(10/32-1/3)
ErroIcm= 100.*np.abs(1/16-1/12)
print('Erros absolutos percentuais: Pivô sobre (Extremidade, CM)=',np.round((ErroIext,ErroIcm),2),'%')
print('Erros relativos percentuais: Pivô sobre (Extremidade, CM)=',np.round((ErroIext/(1/3.),ErroIcm/(1/12)),2),'%')

Erros absolutos percentuais: Pivô sobre (Extremidade, CM)= [2.08 2.08] %
Erros relativos percentuais: Pivô sobre (Extremidade, CM)= [ 6.25 25.  ] %

Um modelo mais imediato, porém com erro gigante:

O modelo que entregaria o resultado qualitativo mais rápido seria usar diretamente o CM da barra. O CM girando ao redor do CM teria momento de Inércia ZERO. E girando ao redor de uma extremidade teria $I=\frac{1}{4}m\;l$;

In [34]:

ErroIext= 100.*np.abs(1/4-1/3)
ErroIcm= 100.*np.abs(0-1/12)
print('Erros absolutos percentuais: Pivô sobre (Extremidade, CM)=',np.round((ErroIext,ErroIcm),2),'%')
print('Erros relativos percentuais: Pivô sobre (Extremidade, CM)=',np.round((ErroIext/(1/3.),ErroIcm/(1/12)),2),'%')

Erros absolutos percentuais: Pivô sobre (Extremidade, CM)= [8.33 8.33] %
Erros relativos percentuais: Pivô sobre (Extremidade, CM)= [ 25. 100.] %

Você não deve usar modelos de divisão diferente. Você pode até encontrar a resposta qualitativa correta em alguns casos, mas eventualmente não em todos.

Teorema dos Eixos Paralelos. ¶

O teorema diz que,

$$I_{sis\;eixo}=I_{cm}+M\;h^2_{cm\;eixo}$$

O momento de inércia de um sistema em relação a um dado eixo, é igual ao momento de inércia do sistema girando ao redor de um eixo que passa pelo CM, somado ao momento de inércia do CM ao redor do eixo de giro original.

Demonstração do Teorema dos Eixos Paralelos :¶

Uma forma elegante e bastante direta de demonstrar o teorema dos eixos paralelos é analisar a energia cinética total do sistema girante.

Separação dos Movimentos	Passo a Passo:
	1. Quando no referencial do CM, a Energia cinética rotacional será: $K_{sis\;cm}=\frac{1}{2}I_{cm}\omega^2$, toda as energias são detectadas, a menos da energia cinética do próprio CM (vimos isso em colisões e vale aqui também).

2. A energia cinética faltante, é a energia devido ao movimento do próprio CM ao redor do eixo, $K_{cm\;eixo}=\frac{1}{2}\;M\;V_{cm\;eixo}^2$. Para um movimento puramente rotacional, a translação do CM será uma rotação com $V_{cm\;eixo}=h\;\omega$. Então $K_{cm\;eixo}=\frac{1}{2}\;M\;h_{cm\;eixo}^2\omega^2$.

3. No referencial do eixo de giro, a Energia cinética rotacional será: $K_{sis\;eixo}=\frac{1}{2}I_{sis\;eixo}\omega^2$.
E essa energia é a soma das energias do CM e do sistema ao redor do CM.

$$K_{sis\;eixo}=K_{sis\;cm}+K_{cm\;eixo}$$$$\frac{1}{2}I_{sis\;eixo}\omega^2=\frac{1}{2}I_{cm}\omega^2+\frac{1}{2}\;M\;h_{cm\;eixo}^2\omega^2$$$$I_{sis\;eixo}=I_{cm}+M\;h_{cm\;eixo}^2$$

Exemplo usando o Teorema. ¶

Vamos verificar o resultado obtido para Barra Homogênea do exemplo anterior. Usando o teorema dos eixos paralelos para obter o resultado da barra girando ao redor de um eixo que passa pela extremidade.

Girando ao redor do CM, essa barra apresenta o momento de inércia: $I_{barra\;cm}=\frac{1}{12}m\;l^2$

O CM dessa barra girando ao redor do eixo tem momento de inércia: $I_{cm\;eixo}=m\;(\frac{l}{2})^2=\frac{1}{4}m\;l^2$

Somando os resultados: $I_{barra\;eixo}=\frac{1}{12}m\;l^2+\frac{1}{4}m\;l^2$

$$I_{barra\;eixo}= \frac{1}{12}m\;l^2+\frac{3}{3}\frac{1}{4}m\;l^2$$$$I_{barra\;eixo}= \frac{1}{12}m\;l^2+\frac{3}{12}m\;l^2=\frac{4}{12}m\;l^2$$$$I_{barra\;eixo}=\frac{1}{3}m\;l^2 $$

O teorema dos eixos paralelos é uma forma eficiente de obter o momento de inércia de um sistema de partículas em relação a qualquer eixo arbitrário.

Limites do Teorema:

O teorema é poderoso, e resolve de forma abrangente todos os problemas desde que seja mantida a forma de girar. No caso da barra, tevemos em todos os caso, uma barra que gira perpendicular ao eixo axial(as hélices de um elicóptero faria). Para um giro no sentido paralelo ao eixo axial (como um eixo cardã de transmissão), esse o Teorema não serve. E outros métodos devem ser tentados, a integração direta sempre é um caminho e existem outras formas de trabalhar na literatura, o mais famoso é o Teorema dos Eixos perpendiculares.

Obrigado a todos pela presença!¶

Na quinta feira vamos fazer exercícios relacionados a Cinemática e Dinâmica de Rotações.