Destaco aqui algumas p\u00e9rolas encontradas no livro<\/p>\n
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1) O Polin\u00f4mio de Euler<\/strong><\/p>\n \u00a0f(n) = n^2 + n + 41<\/em>.<\/p>\n (Verfica-se que f(-n) = f(n-1)<\/em>, de modo que os valores de f<\/em> nos argumentos inteiros negativos repetem os valores de f dos argumentos inteiros n\u00e3o-negativos.)<\/p>\n O Polin\u00f4mio de Euler \u00e9 espetacular porque retorna n\u00fameros primos para qualquer argumento inteiro entre 0 e 39 (inclusive). Al\u00e9m disso, para o primeiro milh\u00e3o inteiros, pouco menos da metade dos valores de f s\u00e3o primos. Tal comportamento \u00e9 bastante peculiar\u2026<\/p>\n Um programa que verifica a primalidade<\/em> dos valores do Polin\u00f4mio de Euler: <\/span>Polinomio-Euler<\/a>!<\/p>\n 2) N\u00fameros de Fermat<\/strong><\/p>\n Fermat conjecturou que s\u00e3o primos todos os n\u00fameros da forma<\/p>\n F(n) = 2^(2^n)+1; n\u00a0 = 0, 1, 2, …<\/em><\/p>\n Fermat verificou sua conjectura apenas para os argumentos 0, 1, 2, 3, 4, n\u00e3o conseguindo prov\u00e1-la e nem exibir um contraexemplo.<\/p>\n Euler mostrou que F(5) = 4294967297<\/em> \u00e9 divis\u00edvel por 641<\/em>, provando que a conjectura de Fermat \u00e9 falsa.<\/p>\n Posteriormente, verificou-se tamb\u00e9m que F(7)<\/em> e F(16)<\/em> tamb\u00e9m n\u00e3o s\u00e3o primos. Hoje, conjectura-se que os valores de F s\u00e3o primos apenas para os argumentos 0, 1, 2, 3, 4<\/em> – quase o oposto da conjectura original de Fermat!<\/p>\n Conclus\u00e3o: Indu\u00e7\u00e3o \u00e9 algo temer\u00e1rio – at\u00e9 os g\u00eanios erram!<\/em><\/p>\n 3) N\u00fameros perfeitos<\/strong><\/p>\n Um n\u00famero perfeito \u00e9 um inteiro positivo que \u00e9 igual \u00e0 soma dos seus divisores pr\u00f3prios.<\/p>\n Os primeiros n\u00fameros seis n\u00fameros perfeitos s\u00e3o:<\/p>\n 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056<\/em>.<\/p>\n Um matem\u00e1tico grego do primeiro s\u00e9culo A.D. chamado Nicomachus conjecturou com base nos quatro primeiros n\u00fameros perfeitos conhecidos na sua \u00e9poca que\u00a0 o n-\u00e9simo<\/em> n\u00famero perfeito teria exatamente n<\/em> d\u00edgitos e que terminaria alternativamente em 6<\/em> e 8<\/em>. Ambas conjecturas foram demonstradas serem falsas pelas descobertas do quinto (s\u00e9c.XV) e sexto (sec. XVI) n\u00fameros perfeitos.<\/p>\n Euclides provou que: se para algum inteiro positivo n o n\u00famero 2^n-1 \u00e9 primo, ent\u00e3o (2^n-1)2^(n-1) \u00e9 um n\u00famero perfeito par<\/em>.<\/p>\n Euler provou o resultado inverso: todo n\u00famero perfeito par tem a forma (2^n-1)2^(n-1), para algum n\u00famero inteiro positivo n tal que 2^n-1 \u00e9 primo<\/em>.<\/p>\n N\u00fameros primos da forma 2^n-1<\/em> s\u00e3o chamados primos de Mersene<\/em>.<\/p>\n A rela\u00e7\u00e3o entre primos de Mersene<\/em> e n\u00fameros perfeitos<\/em> descoberta por Euclides e Euler \u00e9 totalmente\u00a0 inusitada em face das suas defini\u00e7\u00f5es. Este \u00e9 um exemplo interessante das belezas surpreendentes da Matem\u00e1tica.<\/p>\n 4) Bugs<\/strong><\/p>\n Uma estimativa para o custo dos bugs em softwares comerciais (do que podemos deduzir que \u00e9 muito importante desenvolvermos procedimentos eficazes para evit\u00e1-los):<\/p>\n Destaco aqui algumas p\u00e9rolas encontradas no livro Keith Devlin: Micromath: mathematical problema and theorems to consider and solve on a computer. Macmillan Publishers LTD, 1984. 1) O Polin\u00f4mio de Euler \u00a0f(n) = n^2 + n + 41. (Verfica-se que f(-n) = f(n-1), de modo que os valores de f nos argumentos inteiros negativos repetem … Continue reading \n