{"id":187,"date":"2014-02-17T20:26:06","date_gmt":"2014-02-17T20:26:06","guid":{"rendered":"http:\/\/blog.ufes.br\/ramoncampos\/?p=187"},"modified":"2014-02-17T20:46:40","modified_gmt":"2014-02-17T20:46:40","slug":"python-aula-3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.ufes.br\/ramoncampos\/2014\/02\/17\/python-aula-3\/","title":{"rendered":"Python – Aula 3"},"content":{"rendered":"
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Computa\u00e7\u00e3o Simb\u00f3lica no IPython Notebook usando sympy<\/h1>\n

Disciplina “Computa\u00e7\u00e3o no Ensino de F\u00edsica” (CEF)<\/a> da UFES\/Alegre<\/h1>\n

Curso de Licenciatura em F\u00edsica – Turma 2013\/2<\/h1>\n

Autoria : Prof. Ram\u00f3n Giostri Campos – 2014\/1.<\/h1>\n<\/div>\n
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Veremos abaixo como usar o IPython notebook para realizar c\u00e1lculos simb\u00f3licos, usando o pacote sympy, no processo vamos exercitar a defini\u00e7\u00e3o de fun\u00e7\u00f5es (def) em python e gr\u00e1ficos usando o pr\u00f3prio sympy.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Carregar o IPyhon notebook e os pacotes iniciais:<\/h1>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Digite $ipython notebook<\/p>\n

no terminal do seu sistema operacional (shell no linux e prompt no windowns);<\/p>\n

Abaixo vamos chamar os principais pacotes<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n

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In\u00a0[1]:<\/div>\n
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%pylab inline<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Populating the interactive namespace from numpy and matplotlib<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\u00c9 importante usar os pacotes compat\u00edveis, como estamos usando o ipython novo, devemos usar o sympy novo.<\/p>\n
No ubuntu uma solu\u00e7\u00e3o \u00e9 fazer download do sympy mais novo no s\u00edtio:<\/p>\n
http:\/\/sympy.org\/pt\/download.html\r\n<\/code><\/pre>\n
Dai descompactamos e colocamos o arquivo que queremos executar (file.ipynb) dentro do diret\u00f3rio do rec\u00e9m descompactado.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[2]:<\/div>\n
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import sympy as sym # importa as fun\u00e7\u00f5es do sympy em um contexto diferenciado (no caso sym)\r\nfrom sympy import *<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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A mudan\u00e7a de contexto presente na primeira linha \u00e9 importante para n\u00e3o sobrepor as fun\u00e7\u00f5es vindas do sympy com as fun\u00e7\u00f5es nativas do python e do pylab.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Executamos agora um comando para ver qual a vers\u00e3o do sympy, se tudo foi feito corretamente, o n\u00famero que aparece aqui \u00e9 o mesmo que est\u00e1 no pacote baixado do site e descompactado posteriormente;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[3]:<\/div>\n
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from sympy import __version__\r\n__version__<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[3]:<\/div>\n
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'0.7.4.1'<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Primeiro est\u00e1gio: Opera\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas e considera\u00e7\u00f5es iniciais<\/h1>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[4]:<\/div>\n
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3*pi\/2 + exp(I*x) \/ (x**2 + y)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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---------------------------------------------------------------------------\r\nNameError                                 Traceback (most recent call last)\r\n<ipython-input-4-057106a93d7b> in <module>()\r\n----> 1 3*pi\/2 + exp(I*x) \/ (x**2 + y)\r\n\r\nNameError: name 'x' is not defined<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\u00c9 importante dizer para o sympy quais as objetos s\u00e3o S\u00cdMBOLOS;<\/h4>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[5]:<\/div>\n
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x, y, z, t = symbols(\"x y z t\") # Define s\u00edmbolos para vari\u00e1veis genericas<\/pre>\n
k, m, n = symbols(\"k m n\", integer=True)  # Define s\u00edmbolos para vari\u00e1veis inteiras<\/pre>\n
f, g, h = map(Function, 'fgh') # define s\u00edmbolos para fun\u00e7\u00f5es<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[6]:<\/div>\n
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3*pi\/2 + sym.exp(I*x) \/ (x**2 + y)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[6]:<\/div>\n
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3*pi\/2 + exp(I*x)\/(x**2 + y)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Agora o Python entendeu o que fazer, pois x e y s\u00e3o s\u00edmbolos.<\/p>\n
Mas essa forma 1D \u00e9 dif\u00edcil de ler e muito feia…vamos melhorar isso.<\/p>\n
Para isso devemos carregar o comando abaixo:<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[7]:<\/div>\n
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init_printing()<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Vamos repetir o nosso teste;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[8]:<\/div>\n
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3*pi\/2 + sym.exp(I*x) \/ (x**2 + y)\r\n#Muito mais bonito!<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[8]:<\/div>\n
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3\u03c02+eixx2+y<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Algumas a\u00e7\u00f5es que podem ser feitas com express\u00f5es simb\u00f3licas: expandir (expand), simplificar(simplify) e resolver(solve);<\/h4>\n
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In\u00a0[9]:<\/div>\n
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eq = ((x+y)**2 * (x+1))\r\neq<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[9]:<\/div>\n
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(x+1)(x+y)2<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[10]:<\/div>\n
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expand(eq)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[10]:<\/div>\n
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x3+2x2y+x2+xy2+2xy+y2<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[11]:<\/div>\n
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a = 1\/x + (x*sin(x) - 1)\/x\r\nprint(a) #assim fica feito\r\ndisplay(a) #assim fica bonito<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[12]:<\/div>\n
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simplify(a)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[12]:<\/div>\n
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sin(x)<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[13]:<\/div>\n
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eq2 = Eq(x**3 - 3*x**2 + 4*x + 8., 0)\r\ndisplay(eq2)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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x3\u22123×2+4x+8.0=0<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Notem que a equa\u00e7\u00e3o gerada usa o comando “Eq”, para definir a igualdade;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[14]:<\/div>\n
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solve(eq2,x)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[14]:<\/div>\n
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[\u22121.0,2.0\u22122.0i,2.0+2.0i]<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Exerc\u00edcios 1: Tente resolver equa\u00e7\u00f5es de ordem maior que 3 e equa\u00e7\u00f5es transcendentais com o solve para ver o que ocorre;<\/h4>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Terceiro esst\u00e1gio: F\u00edsica B;<\/h1>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Vamos come\u00e7ar com o sistema massa mola: F=-kx; A segunda lei de Newtom para ele nos gera m<\/em>a+k*x=0, que em termo de derivadas e j\u00e1 dividindo pela massa fica:<\/h4>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[15]:<\/div>\n
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w0=symbols(\"w_0\",real=True)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Atentem para a Flag “real”, isso significa que o s\u00edmbolo w0 \u00e9 REAL;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[16]:<\/div>\n
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eqn = Eq(Derivative(x(t),t,t) + w0**2*x(t), 0) # j\u00e1 trocamos k\/m por w0**2\r\ndisplay(eqn)\r\ndsolve(eqn, x(t))<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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E se houvesse atrito, como ficaria.<\/h4>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[17]:<\/p>\n
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b=symbols(\"b\",real=True)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[18]:<\/div>\n
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eqn2 = Eq(Derivative(x(t),t,t) +b*Derivative(x(t),t)+ w0**2*x(t), 0) # j\u00e1 trocamos k\/m por w0**2\r\ndisplay(eqn2)\r\ndsolve(eqn2, x(t))<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[18]:<\/p>\n
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N\u00e3o se assunste, isso \u00e9 feio assim pois o sympy n\u00e3o sabe quem \u00e9 maior, b ou w0<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Se b e w0 forem conhecidos teremoss algo relativamente simples;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[19]:<\/div>\n
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eqn2_crit = Eq(Derivative(x(t),t,t) +4*Derivative(x(t),t)+ (2**2)*x(t), 0) # j\u00e1 trocamos w0=2 e b=4\r\ndisplay(eqn2_crit)\r\ndsolve(eqn2_crit, x(t))<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[19]:<\/div>\n
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In\u00a0[20]:<\/div>\n
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eqn2_super = Eq(Derivative(x(t),t,t) +5*Derivative(x(t),t)+ (2**2)*x(t), 0) # j\u00e1 trocamos w0=2 e b=5\r\ndisplay(eqn2_super)\r\ndsolve(eqn2_super, x(t))<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[20]:<\/div>\n
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In\u00a0[21]:<\/div>\n
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eqn2_sub = Eq(Derivative(x(t),t,t) +3*Derivative(x(t),t)+ (2**2)*x(t), 0) # j\u00e1 trocamos w0=2 e b=3\r\ndisplay(eqn2_sub)\r\ndsolve(eqn2_sub, x(t))<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[21]:<\/div>\n
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E se houvesse uma for\u00e7a externa, por exemplo senoidal!<\/h4>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[22]:<\/div>\n
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wp, A=symbols(\"w_p A\",real=True)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[23]:<\/div>\n
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eqn3 = Eq(Derivative(x(t),t,t) + w0**2*x(t)-A*sin(wp*t), 0) # j\u00e1 trocamos k\/m por w0**2\r\ndisplay(eqn3)\r\nsol3=dsolve(eqn3, x(t))\r\ndisplay(sol3)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Exerc\u00edcio 2: Descubra se \u00e9 poss\u00edvel reaproveitar o que \u00e9 gerado do solve e do dsolve sem necessariamente digitar as equa\u00e7\u00f5es manualmente;<\/h4>\n
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Terceiro est\u00e1gio: C\u00e1lculo B;<\/h1>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Primeiro vejamos uma derivada, j\u00e1 usamos ela acima nas equa\u00e7\u00f5es diferencias.<\/p>\n
Usamos os comandos “Derivative” para escrever a derivada e o comando “diff” para realizar a deriva\u00e7\u00e3o;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[24]:<\/div>\n
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Derivative(cos(m*x**k)**10,x)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[24]: Esse mostra a equa\u00e7\u00e3o<\/div>\n
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In\u00a0[25]:<\/div>\n
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diff(cos(m*x**k)**10,x)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[25]: Esse resolve a equa\u00e7\u00e3o<\/div>\n
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Note que o comando “Derivative” \u00e9 esperto, e se tivermos uma express\u00e3o com duas VARI\u00c1VEIS, ele imprime na tela uma derivada parcial em lugar da derivada ordin\u00e1ria;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[26]:<\/div>\n
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Derivative(cos(y*x**k),x)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[26]:<\/div>\n
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\u2202cos(xky)\/\u2202x<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Agora vamos a integral, n\u00e3o necessariamente uma simples.<\/p>\n
Usamos o comando “Integral” para escrever a INTEGRAL sem resolve-la e o comando “integrate” para INTEGRAR e ver o resultado;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[27]:<\/div>\n
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Integral(sin(k*x)*sin(m*x),(x,-pi\/2,pi\/2))<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[27]: Esse mostra a equa\u00e7\u00e3o<\/div>\n
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In\u00a0[28]:<\/div>\n
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integrate(sin(k*x)*sin(m*x),(x,-pi\/2,pi\/2))<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[28]: Esse resolve a equa\u00e7\u00e3o<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\n
Essa \u00e9 uma das integrais da base da S\u00e9rie de Fourier, usada nas s\u00e9ries de Fourier, muito importante para resolver problemas de MEC\u00c2NICA CL\u00c1SSICA e ELETROMAGNETISMO.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
Exerc\u00edcio 3: Pesquise quais as outras integrais dessa base e use o sympy para resolve-las;<\/h4>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
Vamos a um exemplo mais trabalhoso, vamos investigar as S\u00e9ries de Taylor:<\/h3>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\n
S\u00e9ries de Taylor (e outros tipos) s\u00e3o uma formas de aproximar fun\u00e7\u00f5es ao redor de um ponto de avalia\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[29]:<\/div>\n
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series(f(x),x,0,6)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[29]:<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Ainda \u00e9 poss\u00edvel fazer de outra forma…<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[30]:<\/div>\n
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f(x).series(x,0,6)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[30]:<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Adiantes vamos estudar graficamente a quest\u00e3o da aproxima\u00e7\u00e3o das ser\u00edes de Taylor.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\n
Tendo o SYMPY em funcionamento, \u00e9 possivel fazer gr\u00e1ficos nele usando um comando tipo PLOT, por\u00e9m o sym.plot \u00e9 menos rico que o plt.plot (do MATPLOTLIB) que usamos na aula passada. Mas ele quebra bem o galho e tem uma sintax super simples;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Plot do sympy b\u00e1sico<\/h3>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[31]:<\/div>\n
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sym.plot(cos(x))<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[31]:<\/div>\n
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<sympy.plotting.plot.Plot at 0x5d261d0><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Note que n\u00e3o houve necessidade de gerar o dois vetores de n\u00fameros (usando NUMPY ARANGE) para gerar o gr\u00e1fico (na verdade essa sintax \u00e9 absurdamente simples).<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[32]:<\/div>\n
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sym.plot(cos(x),sin(x),log(x)) # v\u00e1rios gr\u00e1ficos<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[32]:<\/div>\n
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<sympy.plotting.plot.Plot at 0x61eb810><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[33]:<\/div>\n
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sym.plot(cos(x),log(x),(x,0.1,2*pi)) # gr\u00e1ficos com intervalos semelhantes definidos<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[33]:<\/div>\n
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<sympy.plotting.plot.Plot at 0x6203490><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\n
In\u00a0[34]:<\/p>\n
sym.plot((cos(x),(x,-pi,2*pi)),(log(x),(x,0.1,2*pi))) # gr\u00e1ficos com intervalos diferentes definidos<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[34]:<\/div>\n
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<sympy.plotting.plot.Plot at 0x6478950><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\n
Para inspecionar coisas simples, esse comando funciona muito bem, para gr\u00e1ficos realmente profissionais devemos usar o MATPLOTLIB. A a sintax simples \u00e9 muito limitada e mesmo a\u00e7\u00f5es simples como mudar a cor dos gr\u00e1ficos j\u00e1 deixa deixa a simplicidade de lado;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[35]:<\/div>\n
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p=sym.plot((cos(x),(x,-pi,2*pi)),(log(x),(x,0.1,2*pi)), show=False)\r\np[0].line_color = 'red'\r\np[1].line_color = 'green'\r\np.title = 'Figuras Coloridass'\r\np.show()<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[36]:<\/div>\n
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p=sym.plot((cos(x),(x,-pi,2*pi)),(log(x),(x,0.1,2*pi)), show=False)\r\np[0].line_color = (0.5,1,1) #aqui usando RGB;\r\np[1].line_color = lambda a : log(a) # Aqui usando uma fun\u00e7\u00e3o para mapear a cor;\r\np.title = 'Figuras Coloridass'\r\np.show()<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Exerc\u00edcio 4: Pesquise se \u00e9 poss\u00edvel colocar o nome dos eixos nos gr\u00e1ficos do sympy; Se sim, mostre um exemplo;<\/h4>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
Quarto est\u00e1gio: O que voc\u00ea n\u00e3o faria facilmente;<\/h1>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
Vamos agora fazer uma fun\u00e7\u00e3o que fa\u00e7a a compara\u00e7\u00e3o da fun\u00e7\u00e3o e da s\u00e9ries;<\/h4>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[37]:<\/div>\n
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def f_taylor_ordem(func, var=x, ordem=5):\r\n    ftaylor = func.series(var,0,ordem).removeO()\r\n    return ftaylor<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Definimos uma fun\u00e7\u00e3o que faz a s\u00e9rie de Taylor de uma fun\u00e7\u00e3o gen\u00e9rica (vari\u00e1vel func), expandida na vari\u00e1vel espec\u00edfica (var), que por omiss\u00e3o \u00e9 escolhida vari\u00e1vel x (var=x) e na ordem que quisermos (ordem), que por omiss\u00e3o \u00e9 a ordem 5 (ordem=5);<\/p>\n
Atente para o remove0() do final, ele serve para transformar a s\u00e9rei em polin\u00f4mio.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[38]:<\/div>\n
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f_taylor_ordem(sinh(x*cos(t))) #tudo funcionando por omiss\u00e3o<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[38]:<\/div>\n
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x36cos3(t)+xcos(t)<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[39]:<\/div>\n
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f_taylor_ordem(sinh(x*cos(t)),t,5)#aqui espeficicando a vari\u00e1vel e a ordem<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[39]:<\/div>\n
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t4(x28sinh(x)+x24cosh(x))\u2212t2x2cosh(x)+sinh(x)<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Vamos agora unir essa fun\u00e7\u00e3o a estrutura que gera gr\u00e1ficos do sympy;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[40]:<\/div>\n
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def plot_taylor_compara(func, var=x, rang=(-1,1),yrang=(-1.2,1.2),ordem=[1,5]):\r\n    xrang = (var,)+rang\r\n    arg_plot=(func,)+tuple(map(lambda num:f_taylor_ordem(func,var,num),ordem))+(xrang,)\r\n    display(arg_plot)\r\n    sym.plot(*arg_plot,ylim=yrang)<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Existem 4 solu\u00e7\u00f5es importantes usadas aqui que merecem destaque:<\/p>\n
1 – Opera\u00e7\u00f5es com TUPLAS: Note que a forma de definir o intervalo do plot \u00e9 uma tupla, fazermos uma opera\u00e7\u00e3o de soma com duas tuplas para gerar o formato esperado pelo plot;<\/p>\n
2 – Uso do MAP, map mapeia em uma fun\u00e7\u00e3o os elementos listados;<\/p>\n
map(f(x),[1,2,3]) = [f(1),f(2),f(3)]<\/p>\n
Mas o map mapeia em uma fun\u00e7\u00e3o e devemos avisar para ele qual \u00e9 a vari\u00e1vel que ele deve mapear, para isso usamos…<\/p>\n
3 – Fun\u00e7\u00e3o LAMBDA, essa fun\u00e7\u00e3o basicamente deixa aberto o espa\u00e7o da vari\u00e1vel declarada na fun\u00e7\u00e3o em que est\u00e1 aplicada. O map mapear\u00e1 nesse espa\u00e7o aberto;<\/p>\n
O MAP + LAMBDA poderiam ser substituidos por um loop, mas em geral o loop \u00e9 mais lento que o MAP + LAMBDA;<\/p>\n
4 – Usar o “” para aplicar uma tupla como argumento de uma fun\u00e7\u00e3o do python; Apenas substituir a tupla n\u00e3o funciona, umando <\/em>nome_da_tupla, os n elementos s\u00e3o aplicados um ap\u00f3s o outro como argumentos da fun\u00e7\u00e3o;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\n
Exerc\u00edcio 5: Como verificamos que a forma de definir intervalo no sym.plot \u00e9 uma tupla?<\/h4>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Exerc\u00edcio 6: Fa\u00e7a o loop correspondente ao MAP abaixo;<\/h4>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[41]:<\/div>\n
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map(lambda x:sin(pi*x\/8),range(10))<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Vamos testar nossa cria\u00e7\u00e3o: plot_taylor_compara<\/h3>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[42]:<\/div>\n
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plot_taylor_compara(tan(x)) # com omiss\u00e3o dos par\u00e2metros<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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(tan(x),0,x33+x,(x,\u22121,1))<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[43]:<\/p>\n
plot_taylor_compara(tan(x),x,(-1.5,1.5),(-3,3),[1,3,5,7,9]) # especificando tudo<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n
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(tan(x),0,x,x33+x,2×515+x33+x,17×7315+2×515+x33+x,(x,\u22121.5,1.5))<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Fica uma confus\u00e3o para ler essses gr\u00e1ficos;<\/p>\n
Vamos incluir cores:<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[44]:<\/div>\n
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def plot_taylor_compara_color(func, var=x, rang=(-3.14,3.14),yrang=(-1.2,1.2),ordem=[1,5]):\r\n    xrang = (var,)+rang\r\n    arg_plot=(func,)+tuple(map(lambda num:f_taylor_ordem(func,var,num),ordem))+(xrang,)\r\n    gr=sym.plot(*arg_plot,ylim=yrang,title= \"Grafico \"+string0(func) + \"e suas expansoes nas ordens \"+string0(ordem),show=False)\r\n    for i in range(1,len(ordem)+1):\r\n        rgb=((1.\/random_integers(1,15)),(1.\/random_integers(1,15)),(1.\/random_integers(5,15)))\r\n        gr[i].line_color = rgb  \r\n    gr.show()\r\n    print 'A fun\u00e7\u00e3o ' + string0(func) + ' sempre \u00e9 azul!'<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Exerc\u00edcio 7: Qual a serventia do random_integers?<\/h4>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Vamos ver o resultado do nosso trabalho…<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[45]:<\/div>\n
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plot_taylor_compara_color(exp(x)) # isso n\u00e3o ajudou muito!<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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A fun\u00e7\u00e3o exp(x) sempre \u00e9 azul!<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[46]:<\/div>\n
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plot_taylor_compara_color(exp(x),x,(-8,20),(-10,200),range(1,8,1)) # especificando tudo<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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A fun\u00e7\u00e3o exp(x) sempre \u00e9 azul!<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[47]:<\/div>\n
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plot_taylor_compara_color(exp(x),x,(-8,20),(155,165),range(1,8,1)) # Vamos mexer no yrange para ver melhor o que ocorre x=5;<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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A fun\u00e7\u00e3o exp(x) sempre \u00e9 azul!<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[48]:<\/div>\n
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plot_taylor_compara_color(log(x+1),x,(0,2),(-0.75,1.5),range(2,15,1)) # S\u00f3 est\u00e1 aqui pq \u00e9 legal!<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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A fun\u00e7\u00e3o log(x + 1) sempre \u00e9 azul!<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
Um pouco mais sobre gr\u00e1ficos do sympy<\/h1>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
Como dissemos antes, para gr\u00e1ficos realmente profissionais devemos usar o MATPLOTLIB.<\/p>\n
Mas mesmo com suas limita\u00e7\u00f5es, os gr\u00e1ficos do sympy s\u00e3o bastante vers\u00e1tis e com eles \u00e9 poss\u00edvel esbo\u00e7ar muita coisa;<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
Gr\u00e1ficos impl\u00edcitos;<\/h3>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[49]:<\/div>\n
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sym.plot_implicit(Eq(x**2 + y**2, 4))<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[49]:<\/div>\n
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<sympy.plotting.plot.Plot at 0x69da0d0><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[50]:<\/div>\n
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plot_implicit(y > x**2 ,(x,-1,1)) # podemos pintar \u00e1reas<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[50]:<\/div>\n
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<sympy.plotting.plot.Plot at 0x79d1390><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[51]:<\/div>\n
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plot_implicit(And(y > x**2 , y < sqrt(x)),(x,-1,1.5),(y,-1,2),title='Intersecao de duas curvas') # podemos fazer algumas opera\u00e7\u00f5es l\u00f3gicas<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[51]:<\/div>\n
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<sympy.plotting.plot.Plot at 0x6729750><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[52]:<\/div>\n
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plot_implicit(Or(And(y > x**2 , y < sqrt(x)),And(y < -x**2 , y > -sqrt(-x))),(x,-1,1.5),(y,-1,2)) \r\n# Um pouco mais de opera\u00e7\u00f5es l\u00f3gicas<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[52]:<\/div>\n
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<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7d442d0><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\n
Gr\u00e1ficos param\u00e9tricos<\/h3>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[53]:<\/div>\n
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from sympy.plotting import plot_parametric<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[54]:<\/div>\n
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plot_parametric(cos(x), sin(x), (x, 0, 2*pi))<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[54]:<\/div>\n
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<sympy.plotting.plot.Plot at 0x79d1110><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[55]:<\/div>\n
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plot_parametric(x*cos(x), x*sin(x), (x, 0, 10*pi))<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[55]:<\/div>\n
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<sympy.plotting.plot.Plot at 0x6217390><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[56]:<\/div>\n
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plot_parametric(cos(x)*cos(x), cos(x)*sin(x), (x, 0, 2*pi))<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[56]:<\/div>\n
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<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7a6bf90><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[57]:<\/div>\n
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plot_parametric(cos(20*x)*cos(x), cos(10*x)*sin(x), (x, 0, 2*pi),axis=False) # At\u00e9 um pouco de arte da para fazer!<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Out[57]:<\/div>\n
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<sympy.plotting.plot.Plot at 0xb155e50><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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In\u00a0[58]:<\/div>\n
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pl=plot_parametric(cos(20*x)*cos(x), cos(10*x)*sin(x), (x, 0, 2*pi),axis=False,show=False)\r\npl[0].line_color= lambda a: log(0.001*a)\r\npl.show()<\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Exerc\u00edcio 8 : Descubra se sympy faz gr\u00e1ficos 3D, em caso afirmativo mostre exemplos.<\/h4>\n<\/div>\n<\/div>\n
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Computa\u00e7\u00e3o Simb\u00f3lica no IPython Notebook usando sympy Disciplina “Computa\u00e7\u00e3o no Ensino de F\u00edsica” (CEF) da UFES\/Alegre Curso de Licenciatura em F\u00edsica – Turma 2013\/2 Autoria : Prof. Ram\u00f3n Giostri Campos – 2014\/1. Veremos abaixo como usar o IPython notebook para … Continue lendo →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":61,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_bbp_topic_count":0,"_bbp_reply_count":0,"_bbp_total_topic_count":0,"_bbp_total_reply_count":0,"_bbp_voice_count":0,"_bbp_anonymous_reply_count":0,"_bbp_topic_count_hidden":0,"_bbp_reply_count_hidden":0,"_bbp_forum_subforum_count":0,"_uag_custom_page_level_css":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[6,5],"class_list":["post-187","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-aulas","tag-ipython","tag-python"],"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false,"post-thumbnail":false,"large-feature":false,"small-feature":false},"uagb_author_info":{"display_name":"Ramon Giostri Campos","author_link":"https:\/\/blog.ufes.br\/ramoncampos\/author\/ramon_giostri-campos\/"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"Computa\u00e7\u00e3o Simb\u00f3lica no IPython Notebook usando sympy Disciplina “Computa\u00e7\u00e3o no Ensino de F\u00edsica” (CEF) da UFES\/Alegre Curso de Licenciatura em F\u00edsica – Turma 2013\/2 Autoria : Prof. Ram\u00f3n Giostri Campos – 2014\/1. Veremos abaixo como usar o IPython notebook para … Continue lendo →","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.ufes.br\/ramoncampos\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/187","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.ufes.br\/ramoncampos\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.ufes.br\/ramoncampos\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.ufes.br\/ramoncampos\/wp-json\/wp\/v2\/users\/61"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.ufes.br\/ramoncampos\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=187"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blog.ufes.br\/ramoncampos\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/187\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":356,"href":"https:\/\/blog.ufes.br\/ramoncampos\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/187\/revisions\/356"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.ufes.br\/ramoncampos\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=187"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.ufes.br\/ramoncampos\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=187"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.ufes.br\/ramoncampos\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=187"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}