Álgebra Linear Numérica – 2018/2

Objetivo da disciplina:

  • O estudante aprenderá os seguntes temas: métodos de fatoração matricial para soluções de sistemas lineares e problemas de quadrados mínimos lineares;  aritmética computacional e os conceitos de condicionamento e estabilidade de métodos numéricos; métodos numéricos para calcular autovalores; métodos iterativos para resolver sistemas lineares de grande porte; implementação computacionalmente desses métodos numéricos no Octave.

Cursos:

  • Matemática Industrial

Horário das aulas:

  • segundas 10:40 – 12:20 (Sala 05) e quartas 10:40 – 12:20 (Sala 07)

Programa da disciplina:

  1. Fundamentos (8 aulas)
    1. Produto matriz-vetor
    2. Vetores e matrizes ortogonais
    3. Normas
  2. Decomposição em Valores Singulares (DVS) (4 aulas)
    1. Introdução
    2. Construção do método DVS
  3. Fatoração QR e Quadrados Mínimos (12 aulas)
    1. Projeção
    2. Fatoração QR
    3. Ortogonalização de Gram-Schmidt
    4. Triangularização de Householder
    5. Problemas de Quadrados Mínimos
  4. Condicionamento e Estabilidade (06 aulas)
    1. Condicionamento e número de condição
    2. Aritmética de ponto flutuante
    3. Estabilidade
  5. Sistemas de equações lineares (06 aulas)
    1. Eliminação Gaussiana
    2. Estabilidade da eliminação Gaussiana
    3. Decomposição de Cholesky
  6. Autovalores (12 aulas)
    1. Problema de autovalor
    2. Método da Potência
    3. Redução a forma de Hessenberg
    4. Quociente de Rayligh
    5. Algoritmo QR com e sem shifts
    6. Cálculo da decomposição em valores singulares
    7. Método de Newton para sistemas não lineares
  7. Métodos iterativos de Krylov (12 aulas)
    1. Iteração de Arnoldi
    2. GMRES
    3. Gradiente Conjugado
    4. Precondicionamento

Metodologia de ensino:

Aulas expositivas e de exercícios, laboratório e uso de ferramentas computacionais

Sistema de Avaliação:

Serão aplicados duas provas parciais, um seminário e atividades extras

Temas de Seminários:

  • Métodos baseados em espaços de Krylov: GMRES – (Skendell)
  • Decomposição em Valores Singulares e Aplicações – (Yeverson)
  • Problemas de Quadrados Mínimos – (Elaine)

Datas das provas e da entrega dos trabalhos computacionais:

  • Prova 1: dia  01 de outubro
  • Prova 2: dia  05 de dezembro
  • Prova Final: dia 12 de dezembro
  • Seminários: dias 19 e 21 de novembro

Acesso às aulas para alunos não matriculados na disciplina

Cálculo da média semestral:

A média semestral (MS) será dada por

MS = [(P1 + P2)*(0.6/2) + (T + S + E)*(0.4/3)],

onde P1 e P2 são as notas das duas provas, E corresponde à notas extras (exercícios e outras atividades, a critério do professor), T é a nota do trabalho computacional e S é a nota do seminário. O aluno será aprovado sem necessidade de fazer a prova final se MS >= 7.0.

Para os alunos que farão a prova final, a Média Final (MF) será

MF =  (MS + PF) / 2,

onde PF é a nota da prova final. O aluno será aprovado se MF >= 5.0.

Software

  • Matlab ou Octave

Material de Apoio Didático

Referências Bibliográficas:

  • R. L, Burden e J. D. Faires. Análise Numérica. Cencage Learning, São Paulo, 2008;
  • Lloyd N. Trefethen and D. Bau. Numerical Linear Algebra. SIAM (1999).
  • D. Kincaid and W. Cheney. Numerica Analysis: Mathematics of Scientific Computing. 3rd Ed, Brooks/Cole, (2002).
  • G. H. Golub and C. F. Loan. Matrix Computation. Johns Hopkins studies in the mathematical sciences, 1996.
  • Cunha, M.C.C. Métodos Numéricos. 2a. Edição, 2000.
  • R. A. Horn and C. A. Johnson. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1998.
  • Dongarra, J.J., Duff, I.S., Sorasen, D.C., Van der Vorst. Numerical Linear Algebra for High-Performance Computers. SIAM, 1998.
  • L. M. Carvalho, S. Gratton, R. Lago e N. Maculan. Álgebra Linear Numérica e Computacional: métodos de Krylov para a solução de sistemas lineares. Editora Ciência Moderna, 2010.
  • Kelley C.T. Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations. SIAM, 1995.
  • Saad, Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing Company, 1996.
  • D. Hanselman e B. Littlefield. MATLAB 6 — Curso completo. Pearson Education do Brasil, São Paulo, 2a edição, 2003.
  • Cleve Moler. Numerical Computing with MATLAB, 2004.