Destaco aqui algumas pérolas encontradas no livro

• Keith Devlin: Micromath: mathematical problema and theorems to consider and solve on a computer. Macmillan Publishers LTD, 1984.

 

1) O Polinômio de Euler

 f(n) = n^2 + n + 41.

(Verfica-se que f(-n) = f(n-1), de modo que os valores de f nos argumentos inteiros negativos repetem os valores de f dos argumentos inteiros não-negativos.)

O Polinômio de Euler é espetacular porque retorna números primos para qualquer argumento inteiro entre 0 e 39 (inclusive). Além disso, para o primeiro milhão inteiros, pouco menos da metade dos valores de f são primos. Tal comportamento é bastante peculiar…

Um programa que verifica a primalidade dos valores do Polinômio de Euler: Polinomio-Euler!

2) Números de Fermat

Fermat conjecturou que são primos todos os números da forma

F(n) = 2^(2^n)+1; n  = 0, 1, 2, …

Fermat verificou sua conjectura apenas para os argumentos 0, 1, 2, 3, 4, não conseguindo prová-la e nem exibir um contraexemplo.

Euler mostrou que F(5) = 4294967297 é divisível por 641, provando que a conjectura de Fermat é falsa.

Posteriormente, verificou-se também que F(7) e F(16) também não são primos. Hoje, conjectura-se que os valores de F são primos apenas para os argumentos 0, 1, 2, 3, 4 – quase o oposto da conjectura original de Fermat!

Conclusão: Indução é algo temerário – até os gênios erram!

3) Números perfeitos

Um número perfeito é um inteiro positivo que é igual à soma dos seus divisores próprios.

Os primeiros números seis números perfeitos são:

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056.

Um matemático grego do primeiro século A.D. chamado Nicomachus conjecturou com base nos quatro primeiros números perfeitos conhecidos na sua época que  o n-ésimo número perfeito teria exatamente n dígitos e que terminaria alternativamente em 6 e 8. Ambas conjecturas foram demonstradas serem falsas pelas descobertas do quinto (séc.XV) e sexto (sec. XVI) números perfeitos.

Euclides provou que: se para algum inteiro positivo n o número 2^n-1 é primo, então (2^n-1)2^(n-1) é um número perfeito par.

Euler provou o resultado inverso: todo número perfeito par tem a forma (2^n-1)2^(n-1), para algum número inteiro positivo n tal que 2^n-1 é primo.

Números primos da forma 2^n-1 são chamados primos de Mersene.

A relação entre primos de Mersene e números perfeitos descoberta por Euclides e Euler é totalmente  inusitada em face das suas definições. Este é um exemplo interessante das belezas surpreendentes da Matemática.

4) Bugs

Uma estimativa para o custo dos bugs em softwares comerciais (do que podemos deduzir que é muito importante desenvolvermos procedimentos eficazes para evitá-los):

• “‘Debugging’ is one of the first words people learn when they start to write computer programs. It is well nigh impossible to write a program of more than half a dozen lines (if that) without some small and practically undetectable error creeping in which, inevitably, causes the program to produce mysteriously bizarre results when it is run (always assuming that it will run at all). ‘Bugs’ are what they are called, and ‘debugging’ is the art (if that is the word) of finding and removing them. / It has been estimated that around 80 per cent of all the time (and hence money) spent on writing commercial software is spent on debugging. And it is unlikely that any largescale program is ever rendered totally bug-free. This goes for the operating systems and language compilers upon which everyone’s programs ultimately depend, besides the programs written by computer users.” (p.92)